Das Galton-Brett: Binomialverteilung und Normalverteilung Verständlich Gemacht

Das Galton-Brett ist eine eindrucksvolle physische Darstellung, die die Prinzipien der Binomialverteilung und deren Annäherung an die Normalverteilung veranschaulicht, wie sie der zentrale Grenzwertsatz vorhersagt.

Wie funktioniert das Galton-Brett?

• Eine Kugel fällt von der Spitze des Brettes und trifft auf eine Reihe von Pins.
• Bei jedem Aufprall entscheidet der Zufall, ob die Kugel nach links oder rechts abgelenkt wird – mit einer gleichen Wahrscheinlichkeit von 50%.
• Dieser Prozess wiederholt sich, bis die Kugel eines der Fächer am Boden erreicht.

Der Hintergrund: Binomialverteilung

Das Galton-Brett demonstriert den Prozess der Binomialverteilung. Diese beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Reihe von unabhängigen Experimenten mit zwei möglichen Ausgängen (Erfolg oder Misserfolg) und einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit. Im Fall des Galton-Brettes repräsentiert jeder Aufprall auf einen Pin ein solches Experiment.

Die Formel der Binomialverteilung ist:

P(X = k) = n choose k × p^k × (1 - p)^{n - k}

Wo:

• P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis k-mal in n Versuchen eintritt.
• n ist die Gesamtzahl der Versuche.
• k ist die Anzahl der Erfolge in diesen Versuchen.
• p ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs in einem einzelnen Versuch.

wo p die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs, (n k) der Binomialkoeffizient und k die Anzahl der Erfolge ist.

Annäherung an die Normalverteilung

Bei einer großen Anzahl von Versuchen (n), nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an, bekannt als der zentrale Grenzwertsatz. Die Verteilung der Kugeln im Galton-Brett bildet eine Glockenkurve, die eine Normalverteilung darstellt.